「多数決を疑う」を読んでみた ~真偽編~

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前回の 「多数決を疑う」を読んでみた ~多数決編~ の続き。
多数決によるマジョリティとマイノリティの関係性・集約の代替案が見つかったところで今度は物事の正しい・間違いを判断して決定することは可能なのか考えてみます。

物事の正しさを見る際に使用する有名な方法として「陪審定理」という考え方があります。「陪審定理」を使って問題に対する真偽を見ていきましょう。

人が正しい判断をし正解である確率をvとした時に、結果として確率は1より低いが0.5よりは高いと仮定します。この場合、間違える確率は 1-v となります。
今、Aという考えがあってその考えは正しいかどうか有権者3名(ジャック、ジョー、マリー)に「正しい」or「間違い」かを判断してもらいます。ここでは前提条件として、正しくなる確率vを0.6として考えます。

結果としては下記の8通りが存在します。

①ジャック、ジョー、マリー3人全員が間違い。
②ジャックは正しいが、ジョーとマリーが間違える。多数決の結果により間違い。
③ジョーは正しいが、ジャックとマリーが間違える。多数決の結果により間違い。
④マリーは正しいが、ジャックとジョーが間違える。多数決の結果により間違い。
⑤ジャックとマリーは正しく、ジョーが間違える。多数決の結果により正しい。
⑥ジョーとマリーは正しく、ジャックが間違える。多数決の結果により正しい。
⑦ジャックとジョーは正しく、マリーが間違える。多数決の結果により正しい。
⑧ジャック、ジョー、マリー3人全員が正しい。

ここで正しい結果は⑤〜⑧です。
⑤〜⑧の確率をそれぞれ求めていきます。

⑤0.6^2*(1-0.6)=0.144
⑥0.6^2*(1-0.6)=0.144
⑦0.6^2*(1-0.6)=0.144
⑧0.6^3=0.216

正しい確率は各々の総和になるので、つまり、
0.144+0.144+0.144+0.216=0.648
となります。

計算結果から見て分かるように、前提条件として出した正しくなる確率0.6よりも0.048多くなっています。この結果から分かることは人数が多くなればなるほど正しくなり確率は1に限りなく近づきます。正しく陪審定理を利用するにも様々な条件が必要なようですが、上手く利用すれば限りなく正しい判断が可能であると分かりました。

陪審に限らず一つの物事に対する真偽を決定する場合に応用して使えそうな定理で勉強になりました。

参考文献

・多数決を疑う(坂井豊貴 著)

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